관계 (Relation)

인간은 일생 동안 수많은 관계를 맺으며 살아간다.

부모와 자녀, 애인, 학생과 선생님 등등

 

관계란 객체들 간의 연관성을 표현하는 구조로써 수학이나 공학 뿐만 아니라

여러 다른 분야에서도 기본적이고 중요한 개념이다.

 

집합 A와 집합 B가 있을 때

A가 B의 부분 집합이거나, A가 B의 부분 집합이 아니거나,
또한 A가 B의 여집합일 경우 집합 A와 집합 B는 관계가 있다고 한다.

 

공학과 수학에서의 관계는 곱집합의 임의의 부분 집합이므로 관계의 집합에 대한 연산,

즉 교집합, 합집합, 차집합, 여집합 등도 관계가 된다.

---

관계와 이항관계

두 집합 A, B에 대하여 A로부터 B로의 이항 관계(binary relation) R은 두 집합의 곱집합 A x B의 부분 집합이다.

A x B의 원소인 순서쌍 (a, b)가 주어졌을 때 (a, b) ∈ R 과 aRb는 동치이다.

 

관계에 대한 표기를 기호로 나타내면 다음과 같다

aRb === (a, b) ∈ R

 

관계 R의 원소인 순서쌍에서 첫 번째 원소의 집합을 정의역(domain)이라 하고 Dom(R)로 표시한다.

두번째 원소의 집합을 치역(range)이라 하며 Ran(R)로 표시한다.

즉, A x B의 원소쌍 (a, b) 일 때

• Dom(R) = { a | (a, b) ∈ R } ⊆ A
• Ran(R) = { b | (a, b) ∈ R } ⊆ B

그러므로 관계에서는 zRx과 xRz가 같지 않음을 유의해야 한다.

정의역은 순서쌍의 첫 번째 원소들로 이루어진 집합이고, 치역은 두 번째 원소들로 이루어진 집합이다.

---

곱집합, 카티시안 곱(Cartesian Product)

A와 B가 집합일 때, 순서쌍(ordered pair)의 첫 번째 요소는 집합 A의 원소이고

두 번째 요소는 B의 원소로 구성된 모든 순서쌍의 집합을 A와 B의 카티시안 곱 또는 곱집합이라고 하며

A x B로 나타낸다.

A x B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B }

 

문제) A = {1, 2}, B = {x, y, z}, C = {3, 4}에 대하여 A x B x C의 순서쌍은 몇개인지 구하시오

풀이) 각 요소에 하나씩 연결이 되면 된다.

1, 2에는 각각 x, y, z가 짝지어질 수 있고, 여기에는 각각 3, 4가 짝지어질 수 있다.

이 때, 각 집합의 원소의 갯수를 곱하면 순서쌍이 몇개가 나올지 구할 수 있다.

2 x 3 x 2 = 12개

---

역관계(inverse relation)

집합 A에서 집합 B로의 관계 R에  대한 역관계 R^-1는 집합 B에서 집합 A로의 관계를 나타낸다.

R^-1 순서쌍 내의 순서를 다시 바꾸면 그 순서쌍은 관계 R에 속하게 된다.

R^-1 = { (b, a) | (a, b) ∈ R }

즉, aRb가 있어야지만 bR^-1a가 존재하게 된다.

 

문제) 두 집합 A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}일 때 관계 R이 다음과 같다고 하자.

R = {(1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

이 때 R의 역관계 R^-1을 구해보아라.

풀이) R의 순서쌍들을 반대로 뒤집으면 R^-1을 구할 수 있다.

R^-1 = {(3, 1), (3, 2), (4, 2), (4, 3)}