집합 사이의 관계를 표현하는 방법은 몇 가지가 있다. 집합 A = {1, 2, 3}에서 원소 a, b가 a > b인 관계 R 과 같이 표현하는 서술식 방법도 있고 그 서술식에 따라 관계를 순서쌍들의 집합으로 {(1, b) ... ~ } 나열하는 나열식 방법도 있다. 그 외에도 순서쌍의 원소들 간의 관계를 편리하게 표현하기 위한 방법으로 화살표 도표(arrow diagram), 좌표 도표(coordinate diagram), 방향 그래프(directed graph), 관계 행렬(relation matrix) 등이 있다. 화살표 도표(arrow diagram) 관계 a가 집합 A의 원소이고 b가 집합 B의 원소라고 하면 (a, b) ∈ R 일 경우 집합 A에 있는 원소 a에서 집합 B에 있는 원소 b로 화살..
인간은 일생 동안 수많은 관계를 맺으며 살아간다. 부모와 자녀, 애인, 학생과 선생님 등등 관계란 객체들 간의 연관성을 표현하는 구조로써 수학이나 공학 뿐만 아니라 여러 다른 분야에서도 기본적이고 중요한 개념이다. 집합 A와 집합 B가 있을 때 A가 B의 부분 집합이거나, A가 B의 부분 집합이 아니거나, 또한 A가 B의 여집합일 경우 집합 A와 집합 B는 관계가 있다고 한다. 공학과 수학에서의 관계는 곱집합의 임의의 부분 집합이므로 관계의 집합에 대한 연산, 즉 교집합, 합집합, 차집합, 여집합 등도 관계가 된다. 관계와 이항관계 두 집합 A, B에 대하여 A로부터 B로의 이항 관계(binary relation) R은 두 집합의 곱집합 A x B의 부분 집합이다. A x B의 원소인 순서쌍 (a, b)..
수학이나 명제에서의 증명 못지 않게 엄밀한 정확성이 요구되는 컴퓨터 프로그램을 입증하는 것 또한 매우 중요하다. 정확한 프로그램이 되기 위해서는 구문 오류(syntax error)를 포함하지 않아야 하고, 예상치 못하게 끝나서도 안되며, 주어진 입력에 대해 정확한 결과를 도출해내야만 한다. 이를 위하여 프로그램의 정확성에 대한 입증이 필요하다. 프로그램의 입증은 제어구조(control structure)에서 필요한데 다음과 같은 4가지의 문장 구조를 입증한다. 순서문(Sequential statements) 조건문(Conditional statements) 반복문(Repeated statements) 무조건적 이동문(Unconditional transfer statements) 1부터 n까지의 정수값을 ..
수학적 귀납법(Mathematcal Induction) 수학적 귀납법에서는 명제 p1, p2, p3, ... pn이 사실이라고 할 때 pn+1의 경우에도 성립한다는 것을 보인다. 따라서, n이 1인 경우 성립하는 것을 보이고 또한 모든 n값에 대해 성립한다고 가정하면 n+1의 경우에도 성립하는 것을 보여주면 된다. 이때 출발점이 되는 n의 값을 '기초단계(basis)' 라고 하며, p1, p2, p3, ... pn을 '귀납 가정(inductive assumption)', pn+1의 경우에 성립됨을 보여주는 것을 '귀납 단계(inductive step)'라고 한다. 모순 증명법(proof by contradiction) 주어진 문제의 명제를 일단 부정해놓고 논리를 전개하여, 그것이 모순됨을 보임으로써 본래..
증명(proof)은 논리적 법칙을 사용하여 해당 명제나 논증이 적절한지를 입증하는 방법이다. 연역법과 귀납법 증명은 연역증명(deduction)과 귀납증명(induction)으로 나뉜다. 연역 증명은 이미 알려진 사실(진리)들이나 원리를 통해 결론을 도출하는 방법이고, 귀납 증명은 특수한 사실이나 원리로부터 확장된 결론을 도출해내는 방법이다. 연역법과 연역법의 오류 연역법의 대표적인 예시는 삼단논법이다. 이미 알려진 사실들로부터 결론을 도출해낸다. 사람들은 참수당하면 죽는다. 세종대왕은 죽었다. 따라서 세종대왕은 참수당했다. 논리적 오류가 있는 증명이지만 이미 알려진 사실(진리)로부터 결론을 도출해냈다. 이는 연역추론에 해당한다. 귀납법과 귀납법의 오류 이번에도 틀린 예시를 하나 하겠다. 칠면조의 역설이..
집합(set)은 원소(element)라고 불리는 서로 다른 객체들의 모임으로 현대 수학에서 가장 기초가 되는 개념이다. 집합은 정확하게 정의되어야 하며, 어떤 객체가 그 집합에 속하는지 아닌지를 분명히 구분할 수 있어야 한다. 집합을 표현하는 방법은 두가지가 있다. 원소나열법 : 집합의 원소들을 { } 사이에 하나씩 나열하는 방법. ex) S = { 1, 2, 3, 4, 5 } 조건제시법 : 집합의 원소들이 가지고 있는 특정한 성질을 기술하여 나타내는 방법. 표현은 S = {x | p(x)}와 같이 나타낸다. 여기서 x는 원소를 대변하는 변수이고, p(x)는 원소들이 가지고 있는 성질을 나타낸다. ex) 2부터 4까지의 자연수의 집합 : S = { x | x는 자연수이고 1 < x < 5 } 카디날리티(..
명제 중에는 값이 정해져있지 않는 변수나 객체(object)가 있어서 참과 거짓을 판별하기 힘든 경우가 있다. 즉, 변수의 값에 따라 그 명제가 참이되고 거짓이 될 수 있다. 예를들어 x²+5x+6=0 이라는 명제의 x의 값이 -2 또는 -3일 경우에는 참의 값을 가지고 그 외에는 거짓의 값을 가진다. 이런 경우 x²+5x+6=0을 만족시키는 변수가 있다고 표현한다. 이와같은 명제의 형태를 p(x)로 표시하고 p(x)를 변수 x에 대한 명제 술어(propositional predicate)라 한다. x는 3보다 크다. 는 술어인가? - x에 1을 대입하면 1 > 3 이 되며 거짓인 명제가 된다. - x에 4를 대입하면 4 > 3 이 되며 참인 명제가 된다. 즉, x는 3보다 크다. 는 술어이다. 술어를 ..
명제(proposition)란 어떤 사고를 나타내는 문장 중에서 참(true)이나 거짓(false)을 객관적이고 명확하게 구분할 수 있는 문장이나 수학적 지식을 말한다. 명제는 통상 소문자로 표시하고 각각의 진리값(Truth value)을 가진다. 이때 명제는 T(true)와 F(false)의 2가지 진리값을 가지므로 이진 논리라고 한다. 논리 연산 단순 명제 : 하나의 문장이나 식으로 구성되어 있는 명제 ex) 개는 동물이다. 합성 명제 : 여러 개의 단순 명제들이 논리 연산자들로 연결되어 만들어진 명제 ex) 개는 동물이고, 사슴벌레는 곤충이다. 논리학에서의 논리 연산자 ~ (부정, NOT) ∧ (논리곱, AND) ∨ (논리합, OR) ⊕ (배타적 논리합, Exclusive OR) → (조건, if ..
